logika matematika

25 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi Matematika SMA kelas X

.1 PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA

4.1.1 Pernyataan

Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat berikut:

i) Tangkaplah orang itu!

ii) Berapa umurmu sekarang?

Kalimat-kalimat di atas tidak menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif), sehingga kalimat-kalimat itu bukan pernyataan.

Kalimat yang dapat digolongkan pernyataan adalah kalimat-kalimat yang menerangkan seuatu (disebut kalimat deklaratif). Namun perlu diingat bahwa tidak semua kalimat deklaratif itu merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat deklaratif berikut ini.

i) Menara itu tinggi.

ii) Nasi soto enak.

Kalimat-kalimat di atas dapat benar saja atau salah saja, tetapi bersifat relatif (bergantung pada keadaan). Kalimat-kalimat tersebut juga bukan pernyataan.

4.1.2 Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan

Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c, d,…,p , q, r, s,…. dan seterusnya.

Sebagai contoh:

i) Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat dilambangkan dengan memakai huruf p.

Ditulis p : 4 adalah bilangan genap

ii) Pernyataan “Besi adalah benda padat” dapat dilambangkan dengan huruf q.

Ditulis q : Besi adalah benda padat.

Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak empiris.

Dasar Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh:

i) “Ibukota jawa Timur adalah Surabaya”, meupakan pernyataan benar.

ii) “Air adalah benda padat”, merupkana pernyataan salah.

Dasar Tak Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.

Sebagai contoh:

i) “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.

ii) “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

Untuk pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran s (salah). Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani τ (dibaca: tau).

Sebagai contoh:

i) τ(p) = B dibaca “niali kebenaran pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenran B”.

ii) q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

4.1.3 Ingkaran Atau Negasi Suatu Pernyataan

Suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang dikonstruksi dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah, dan bernilai salah jika pernyataan semula benar.

Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk “ingkaran p” atau “negasi p”, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat “tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan “tidak” atau “bukan” di dalam pernyataan p.

Hubungan anatara pernyataan p dan ingkaran, ~p, ditunjukkan dengan tabel kebenaran sebagai berikut:

p	~p
B	S
S	B

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini:

p : 2 + 3 = 5 (τ (p) = 5)

~p : 2 + 3 ≠ 5 (τ (~p) = S)

q : Semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~q) = S)

~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~p) = B)

atau

~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjil (τ (~q) = B)

r : Semua kucing berwarna putih (τ (r) = S)

~r : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih (τ (~r) = B)

Tapi pernyataan “semua kucing tidak berwarna putih” bukan merupakan ingkaran, mengapa? Karena pernyataan tersebut bernilai (S), padahal ingkaran dari r harus bernilai (B).

p : Ada x anggota R yang memenuhi x² – x – 6 = 0 (τ (p) = B).

~p : Tidak benar bahwa ada x anggota bilangan real yang memenuhi x² – x – 6 = 0 ,

(τ (~p) = S).

Atau

~p : Semua x yang memenuhi x² – x – 6 = 0 adalah bukan bilangan real (τ (~p) = S), atau

~p : Semua x anggota bilangan real memenuhi x² – x – 6 ≠ 0 (τ (~p) = S)

kita lihat bahwa dari satu pernyataan p dapat dikonstruksi beberapa ingkaran p.

Latihan 1

Manakah diantara kalimat-kalimat berikut yang merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan kalimat terbuka? Jika merupakan pernyataan tentukan nilai kebenrannya.
Tulislah ingkaran atau negasi dari pernyatan berikut, dan tentukan nilai kebenarannya.

Indahnya lukisan itu.
Bandung berada di Jawa Barat.
5 – 2 > 0.
3 – 2x = 15.
5² – 2² = (5 + 2)(5 – 2).
Untuk semua x anggota R, untuk x² + x + 3 > 0.
Ada x anggota R, untuk x² – 4 = 0
Pertumbuhan ekonomi tahun depan adalah 15%.
Nenek moyang manusia adalah sebangsa kera.
Merokok mempercepat kematian.

p : sekarang hujan lebat.
q : (5 – 3)² = (5 + 3)(5 – 3).
r : x² > 0, x E bilangan asli.
s : Ada x anggota R, yang memenuhi x² + x – 6 < 0.
t : Semua kepala negara laki-laki.
u : Bumi tak pernah berhenti berputar. Lainnya

Persamaan kuadrat

25 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi Matematika SMA kelas X

Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dengan

$a \ne 0 \,\!$

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x², koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Daftar isi

Arti nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

[sunting] Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x – 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama ‘rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

$y = 0 \,\!$ .

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dapat dituliskan menjadi

$y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!$ .

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!$

dan

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!$ .

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

[sunting] Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

$b^2 - 4ac,\,\!$

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

Jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional — sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.

Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

$x = -\frac{b}{2a}.\,\!$

Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:

$x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )$

dan

$x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )$

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

[sunting] Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

[sunting] Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat ( $y_1 = ax^2 + bx + c\!$ ) dengan suatu garis mendatar ( $y_2 = d\!$ ). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.

$y_1 - y_2 = ax^2 + bx + c - d = 0 \!$

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara $y_1\!$ dan $y_2\!$ ,
diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara $y_1\!$ dan $y_2\!$ , dan
diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, $y_1\!$ dan $y_2\!$ .

[sunting] Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pula oleh nilai konstanta kuadrat a:

**Harga-harga y**
	$a > 0\!$			$a < 0\!$
	$x < x_1\!$	$x_1 < x < x_2\!$	$x > x_2\!$	$x < x_1\!$	$x_1 < x < x_2\!$	$x > x_2\!$
$D > 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$
$D = 0\!$	$y > 0\!$	$-\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$-\!$	$y < 0\!$
$D < 0\!$	$y > 0\!$	$-\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$-\!$	$y < 0\!$

dengan $x_1 < x_2 \!$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila $x, x_1, x_2\!$ bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah $\Re\ x$ (nilai riil)-nya. Geometri

GEOMETRI

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalah bilangan riil. koordinat–x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akar dari persamaan kuadrat : x² − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

$ax^2+bx+c=0,\,$

adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

$f(x) = ax^2+bx+c,\,$

dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai $x\,\!$ yang memberikan

$f(x) = 0.\,$

Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari $f\,\!$ adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari $f\,\!$ adalah eksak koordinat–x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.