FUNGSI TURUNAN

26 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi matematika sma kelas XI

Turunan.

Turunan adalah suatu objek yang berdasarkan atau dibuat dari suatu sumber dasar. Turunan didasari dari teori turun menurun yang ditemukan oleh 4 Sekawan apank.Cheebodh.Ubaid & ardizzoro. Arti ini penting dalam linguistik dan etimologi, dimana bentuk turunan dari suatu kata terbentuk dari beberapa kata dasar. Dalam kimia, turunan adalah senyawa yang terbentuk dari beberapa senyawa. Dalam finansial, turunan adalah kependekan dari jaminan turunan.proses dari menirunkan disebut diferensiasi
Dalam matematika, turunan dari suatu fungsi adalah satu dari dua konsep utama dalam kalkulus. Invers dari turunan disebut antiturunan atau integral tak tentu.

$(\ln x)' = \frac{1}{x}\,$
$(\sin x)' = \cos x\,$
$(\cos x)' = -\sin x\,$
$(\tan x)' = \sec ^2 x\,$

y‘ adalah simbol untuk turunan pertama.
y” adalah simbol untuk turunan kedua.
y”’ adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain $y'\,$ dan $y''\,$ adalah $\frac{dy}{dx}\,$ dan $\frac{d^2y}{(dx)^2}\,$

silahkan klikk!!!!!!!!!!!!!

Power point statistika

turunan-stt1

ingin lebih jelas silahkan lihat video di bawah ini!!!!!!!!!!!!!!!!1

LIMIT FUNGSI

26 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi matematika sma kelas XI

Limit fungsi

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.

Daftar isi

Sejarah

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. ^[1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d’analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. ^[2] Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an^[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.^[2]

Definisi

Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.

Fungsi pada garis bilangan riil

Bila f : R $\rightarrow$ R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L $\in$ R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai:

$\lim_{x \to p}f(x) = L$

jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x – p|< δ mengimplikasikan bahwa |f (x) – L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)

Limit searah

Limit saat: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^–. Maka, limit x → x₀ tidak ada.

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

$\lim_{x \to p^+}f(x) = L$

atau

$\lim_{x \to p^-}f(x) = L$

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) – L| < ε pada saat 0 < x – p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) – L| < ε bilamana 0 < p – x < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

Limit fungsi pada ketakhinggaan

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai:

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L,$

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) – L| < ε bilamana x > S.

Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh

$\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty,$

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S.

SILAHKAN KLIK DISINI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Power point limit-fungsi

integral

26 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi matematika sma kelas XII

Integral

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah $\int\,$

Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Mencari nilai integral

Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ Lainnya

MATRIKS

26 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi matematika sma kelas XII

MATRIK

MATRIKS SATUAN

adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.

Notasi : I (Identitas)

I₂ =

é 1 0

ù
ë 0 1

I₃ =

é 1 0 1 ù
ê 0 1 0 ú
ë 0 0 1 û

Sifat AI = IA = A

MATRIKS INVERS

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama danAB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A^-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B^-1).

Jika A = é a b ù , maka A-1 = 1 = é d -b ù
Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad – bc ttt ë -c a û

Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.

Sifat A . A^-1 = A^-1 . A = I

Perluasan

A . B = I ® A = B^-1 B = A^-1
A . B = C ® A = C .^B-1 B = A^-1. C

Sifat-Sifat

1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A^-t)^-t = A
5. (A . B)^-1 = B^-1. A^-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|

MAKALAH MATRIK

SILAHKAN KLIK DISINI!!!!!!!!!!!!!

MATRIK

POWER POINT MATRIKS

matrik ppt

Lingkaran

26 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi matematika sma kelas XI

Lingkaran

Elemen-elemen suatu lingkaran.

Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebutpusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Elemen lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:

n sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Elemen lngkiaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
  merupakan jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.

Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
  merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busur (TB)
  merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB).
3. Busur (B)
  merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
  merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
  merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
  merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
  merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
  merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3. Cakram (C)
  merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!$

dengan $R\!$ adalah jari-jari lingkaran dan $(x_0,y_0)\!$ adalah koordinat pusat lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

$x = x_0 + R \cos(t) \!$

$y = y_0 + R \sin(t) \!$

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus

$A = \pi R^2 \!$

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

$dA = rd\theta\ dr$

dalam koordinat polar, yaitu

$\int dA = \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} rd\theta\ dr = \int_{r=0}^R rdr \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = \frac 1 2 (R^2-0^2) \ (2\pi-0) = \pi R^2 \!$

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam $R_1\!$ dan jari-jari luar $R_2\!$ .

Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

[sunting]Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

$A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!$

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam $R_1\!$ dan jari-jari luar $R_2\!$ , yaitu

$A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!$

di mana untuk $R_1 = 0\!$ rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

$A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!$

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

$L = 2\pi R\!$

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

$L = R \theta \!$

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

$dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!$

di mana digunakan

$y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!$

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda $\pm$ mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

]Pi atau π

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

$\pi = \frac K D$

SILAHKAN KLIK DISINI!!!!!

power point lingkaran lingkaran

STATISTIKA

26 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi matematika sma kelas XI

MATERI STATISTIKA

STATISTIKA

A. Tahukah anda….?

Pada mulanya statistika dipergunakan oleh “Caesar Augustus” pada zaman Romawi untuk memperoleh keteerangan-keterangan yang dibutuhkan seperti nama, jenis kelamin, umur, pekerjaan dan jumlah keluarga penduduk negarannya. Mendekati pertengahan abad XX, antara tahun 1918-1935, pemakaian statistika mengalami kemajuan yang sangat pesat. Hal ini dipelopori oleh “r.Fisher” yang memperkenalkan analisis variasi dalam literature statistika.

B. Pengertian Dasar Statistika

Perhatikan situasi sederhana berikut!

Bima diminta Pak Guru mencatat warna favorit semua siswa dikelasnya. Lalu dia mengedarkan secarik kertas dan meminta teman-temannya menuliskanwarna favorit mereka dikertas tersebut.

Bima menyajikan informasi yang diperoleh dengan menggunakan diagram

Warna-warna yang menunjukkan inforamsi yang diperolaeh disebut data statistika, atau secara singkat disebut data.

Kita dapat melihat bahwa statistika berhubungan dengan empat hal, yaitu :

1. Pengumpulan data,

2. Pengorganisasian data,

3. Penyajian data, dan

4. Penafsiran data.

Data statistik bisa diperoleh dengan cara-cara berikut :

Wawancara kepada beberapa orang tentang pandangannya terhadap program baru yang ditayangkan sebuah tv swasta.

C. Jenis-jenis Data

Menurut jenisnya, dibagi dua yaitu data kuantitatif dan data kualitatif.

Data kuantitatif adalah data yang dipeeoleh dari hasil mengukur atau menghitung. Contohnya data nilai ulangan metematika siswa kelas XIA, data tinggi badan seluruh anggota, atau data waktu yang dicapai para pembalap F1 untuk menyelasikan seluruh putaran selalu berupa bilangan.

Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik yang dimiliki obyek yang diteliti. Biasanya data kualitatif tidak dapat dituliskan dalam bentuk bilangan. Contohnya data pendapat masyarakat terhadap kinerja pemerintah. Cata kualitatif bisa disebut data kategori.

D. Statistika dan Statistik

Dua kata yang sangat mirip ini memiliki hubungan yang sangat erat. Ketika kita mengatakan “statistika”, maka kita membicarakan satu cabang matematika yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, penganalisaan, dan penarikan kesimpulan dari data.

Statistik adalah segala inforamsi yang bisa kita dapatkan dari data. Untuk mempeoleh statistic maka kita harus mengunakan statistika. Berdasarkan kebutuhan terhadap pengolah data statistik dibagi dua :

Statistik deskriptif, yaitu segala informasi yang bisa menggambarkan data yang diperoleh.
Statistik inferensi, yaitu statistic yang diperoleh dari data yang ada, dan digunakan untuk menarik kesimpulan tentang populasi objek yang lebih besar.

E. Populasi dan Sampel

Populasi adalah semua objek (orang atau benda) yang akan diteliti (semesta pembicaraan), sementara sebagainpopulasi yang benar-benar diambil datanya dan dibuat statistiknya disebut sampel.

F. Data Tunggal

Suatu statistika dikatakan data tunggal jika banyak variabel yang diteliti hanya satu. variabel adalah data yang ingin diketahui dari setiap objek poupulasi.

Pemeriksaan data.

Data yang diambil harus diperiksa sebelum diolah. Data harus sesuai dengan kondisi yang sebenarnya. Ingat bahwa datum yang slah dalam data akan mempengaruhi perhitungan dan hasil-hasil pengolahan data.

Pembulatan Data

Beberapa aturan pembulatan data sebagai berikut :

Angka lebih dari 5 dibulatkan jadi 10 pada tempatnya. Artinya angka yang mendahuluinya ditambah 1 pada tempatnya.
Angka kurang dari 5 dibulatkan jadi 0 pada tmpatnya. Artinya angka yang mendahuluinya tetap.
Angka sama dengan 5 dibulatkan jadi 0 jika angka yang mendahuluinya ganjil. Dengan demikian hasil pembulatan selalu genap, aturan terakhir ini disebut aturan genap terdekat.

325,4 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 325.

325,4999 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 325.

325,51 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 326.

327,39 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 327,4.

Penyusunan Data.

Dalam statistika, data sebaiknya diurutkan dari datum terkecil ke datum terbesar, atau sebaliknya. Hal ini dilakukan untuk memudahkan penyajian dan analisis data. Data nilai 3 5 7 8 4 2 1 8 6 6 3 2 9 diurutkan menjadi 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9.

Data terbesar, terkecil.

Sekali data telah terurut maka dengan mudah kita menentukan nilai data terbesar dan data terkecil.

Pada data 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9 data terkecilnya adalah 1 dan data terbesarnya adalah 9.

Median adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagian yang sama banyAK

Kuartil adalah datum yang membagi data terurut menjadi seperempat-seperempat bagian. Untuk membagi data menjadi empat bagian sama besar kita memerlukan tiga sekat.

GAMBAR DIAGRAM -DIAGRAM

logika matematika

25 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi Matematika SMA kelas X

.1 PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA

4.1.1 Pernyataan

Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat berikut:

i) Tangkaplah orang itu!

ii) Berapa umurmu sekarang?

Kalimat-kalimat di atas tidak menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif), sehingga kalimat-kalimat itu bukan pernyataan.

Kalimat yang dapat digolongkan pernyataan adalah kalimat-kalimat yang menerangkan seuatu (disebut kalimat deklaratif). Namun perlu diingat bahwa tidak semua kalimat deklaratif itu merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat deklaratif berikut ini.

i) Menara itu tinggi.

ii) Nasi soto enak.

Kalimat-kalimat di atas dapat benar saja atau salah saja, tetapi bersifat relatif (bergantung pada keadaan). Kalimat-kalimat tersebut juga bukan pernyataan.

4.1.2 Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan

Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c, d,…,p , q, r, s,…. dan seterusnya.

Sebagai contoh:

i) Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat dilambangkan dengan memakai huruf p.

Ditulis p : 4 adalah bilangan genap

ii) Pernyataan “Besi adalah benda padat” dapat dilambangkan dengan huruf q.

Ditulis q : Besi adalah benda padat.

Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak empiris.

Dasar Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh:

i) “Ibukota jawa Timur adalah Surabaya”, meupakan pernyataan benar.

ii) “Air adalah benda padat”, merupkana pernyataan salah.

Dasar Tak Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.

Sebagai contoh:

i) “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.

ii) “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

Untuk pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran s (salah). Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani τ (dibaca: tau).

Sebagai contoh:

i) τ(p) = B dibaca “niali kebenaran pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenran B”.

ii) q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

4.1.3 Ingkaran Atau Negasi Suatu Pernyataan

Suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang dikonstruksi dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah, dan bernilai salah jika pernyataan semula benar.

Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk “ingkaran p” atau “negasi p”, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat “tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan “tidak” atau “bukan” di dalam pernyataan p.

Hubungan anatara pernyataan p dan ingkaran, ~p, ditunjukkan dengan tabel kebenaran sebagai berikut:

p	~p
B	S
S	B

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini:

p : 2 + 3 = 5 (τ (p) = 5)

~p : 2 + 3 ≠ 5 (τ (~p) = S)

q : Semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~q) = S)

~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~p) = B)

atau

~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjil (τ (~q) = B)

r : Semua kucing berwarna putih (τ (r) = S)

~r : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih (τ (~r) = B)

Tapi pernyataan “semua kucing tidak berwarna putih” bukan merupakan ingkaran, mengapa? Karena pernyataan tersebut bernilai (S), padahal ingkaran dari r harus bernilai (B).

p : Ada x anggota R yang memenuhi x² – x – 6 = 0 (τ (p) = B).

~p : Tidak benar bahwa ada x anggota bilangan real yang memenuhi x² – x – 6 = 0 ,

(τ (~p) = S).

Atau

~p : Semua x yang memenuhi x² – x – 6 = 0 adalah bukan bilangan real (τ (~p) = S), atau

~p : Semua x anggota bilangan real memenuhi x² – x – 6 ≠ 0 (τ (~p) = S)

kita lihat bahwa dari satu pernyataan p dapat dikonstruksi beberapa ingkaran p.

Latihan 1

Manakah diantara kalimat-kalimat berikut yang merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan kalimat terbuka? Jika merupakan pernyataan tentukan nilai kebenrannya.
Tulislah ingkaran atau negasi dari pernyatan berikut, dan tentukan nilai kebenarannya.

Indahnya lukisan itu.
Bandung berada di Jawa Barat.
5 – 2 > 0.
3 – 2x = 15.
5² – 2² = (5 + 2)(5 – 2).
Untuk semua x anggota R, untuk x² + x + 3 > 0.
Ada x anggota R, untuk x² – 4 = 0
Pertumbuhan ekonomi tahun depan adalah 15%.
Nenek moyang manusia adalah sebangsa kera.
Merokok mempercepat kematian.

p : sekarang hujan lebat.
q : (5 – 3)² = (5 + 3)(5 – 3).
r : x² > 0, x E bilangan asli.
s : Ada x anggota R, yang memenuhi x² + x – 6 < 0.
t : Semua kepala negara laki-laki.
u : Bumi tak pernah berhenti berputar. Lainnya

Persamaan kuadrat

25 Jan 2011 Tinggalkan komentar

by hefetamalaimutz in Materi Matematika SMA kelas X

Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dengan

$a \ne 0 \,\!$

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x², koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Daftar isi

Arti nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

[sunting] Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x – 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama ‘rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

$y = 0 \,\!$ .

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dapat dituliskan menjadi

$y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!$ .

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!$

dan

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!$ .

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

[sunting] Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

$b^2 - 4ac,\,\!$

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

Jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional — sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.

Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

$x = -\frac{b}{2a}.\,\!$

Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:

$x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )$

dan

$x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )$

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

[sunting] Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

[sunting] Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat ( $y_1 = ax^2 + bx + c\!$ ) dengan suatu garis mendatar ( $y_2 = d\!$ ). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.

$y_1 - y_2 = ax^2 + bx + c - d = 0 \!$

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara $y_1\!$ dan $y_2\!$ ,
diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara $y_1\!$ dan $y_2\!$ , dan
diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, $y_1\!$ dan $y_2\!$ .

[sunting] Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pula oleh nilai konstanta kuadrat a:

**Harga-harga y**
	$a > 0\!$			$a < 0\!$
	$x < x_1\!$	$x_1 < x < x_2\!$	$x > x_2\!$	$x < x_1\!$	$x_1 < x < x_2\!$	$x > x_2\!$
$D > 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$
$D = 0\!$	$y > 0\!$	$-\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$-\!$	$y < 0\!$
$D < 0\!$	$y > 0\!$	$-\!$	$y > 0\!$	$y < 0\!$	$-\!$	$y < 0\!$

dengan $x_1 < x_2 \!$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila $x, x_1, x_2\!$ bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah $\Re\ x$ (nilai riil)-nya. Geometri

GEOMETRI

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalah bilangan riil. koordinat–x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akar dari persamaan kuadrat : x² − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

$ax^2+bx+c=0,\,$

adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

$f(x) = ax^2+bx+c,\,$

dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai $x\,\!$ yang memberikan

$f(x) = 0.\,$

Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari $f\,\!$ adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari $f\,\!$ adalah eksak koordinat–x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.